Для каж­до­го рас­смот­рим набор чисел

Легко ви­деть, что все числа на­бо­ра по­рож­да­ют­ся любым из них с по­мо­щью опе­ра­ций (синие от­рез­ки) и (крас­ные от­рез­ки) и что ука­зан­ные опе­ра­ции не вы­во­дят за пре­де­лы на­бо­ра. Из этого сле­ду­ет, что любые два таких на­бо­ра либо не пе­ре­се­ка­ют­ся, либо сов­па­да­ют.

Числа в на­бо­ре не обя­за­тель­но раз­лич­ны: при в нём толь­ко три раз­лич­ных числа. Во всех осталь­ных слу­ча­ях все шесть чисел этого на­бо­ра раз­лич­ны (в этом можно убе­дить­ся, при­рав­ни­вая x к осталь­ным пяти чис­лам; ясно, что если какие-то два числа на­бо­ра равны, то и x при­сут­ству­ет в на­бо­ре более од­но­го раза).

Мно­же­ство X, оче­вид­но, раз­би­ва­ет­ся на на­бо­ры опи­сан­но­го вида. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство его эле­мен­тов де­лит­ся на 3. С дру­гой сто­ро­ны, любое ко­ли­че­ство эле­мен­тов, де­ля­ще­е­ся на 3, можно на­брать не­пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся на­бо­ра­ми по шесть эле­мен­тов, до­ба­вив к ним при не­об­хо­ди­мо­сти набор

Итак, от­ве­том в за­да­че яв­ля­ют­ся все на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 20, де­ля­щи­е­ся на 3: это 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15, 18.