РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10392 Добавить в вариант

Окружность $\omega$ описана около треугольника ABC. Биссектриса AL пересекает $\omega$ в точке $S не равно q A.$ Докажите, что длина проекции отрезка AS на прямую AB больше длины отрезка AL.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что проекции отрезка AS на стороны AB и AC равны, потому без ограничения общности будем считать, что $AB больше AC.$ Обозначим через K и M проекции точки S на стороны AB и BC соответственно. Заметим, что точка M  — середина отрезка BC, и она лежит на отрезке BL. Четырёхугольник BKMS вписанный, поэтому

$\angle AKL меньше \angle AKM = \angle BSM = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CBS = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAS = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle KAL,$ $\angle AKL меньше \angle AKM = \angle BSM = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CBS =$
$= 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAS = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle KAL,$

потому $\angle AKL плюс \angle KAL меньше 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ следовательно, $\angle KLA$ тупой, откуда $AK больше AL.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Сформулировано, что проекции точки S на прямые AB и AC и середина отрезка DC лежат на одной прямой  — прямой Симпсона, нет других комментариев про взаимное расположение проекции: −2 балла;

Без доказательства используется, что точка K лежит на отрезке AB, если не применим предыдущий критерий: −6 баллов;

Неравенство делится на косинус половины угла треугольника, ничего не сказано про положительность косинуса: −2 балла;

Доказано нестрогое неравенство: −3 балла;

Не разобран хотя бы 1 вырожденный случай (написанное решение для него не работает): −2 балла;

Используется, что медиана не короче биссектрисы без доказательства: −2 балла.

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2024 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Геометрия: планиметрия. Окружности описанные

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь