Будем называть треугольник DEF вписанным в треугольник ABC, если точки D, E, F находятся на сторонах BC, AC, AB соответственно.
Пусть 
Средняя линия треугольника DEF, параллельная EF, пересекает AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что точки A, D, X, Y лежат на одной окружности.
Из условия на равенство углов следует, что описанная окружность треугольника AEF касается прямых DE, DF. Следовательно, средняя линия треугольника DEF, которая параллельна EF, является радикальной осью описанной окружности треугольника AEF и окружности с центром в точке P и нулевым радиусом, поэтому 
и 
Следовательно, 
и 
то есть 
но так как 
мы получаем вписанность четырёхугольника AXYD.