На сторонах равностороннего треугольника ABC построены во внешнюю сторону треугольники AB'C, CA'B, BC'A так, что получился шестиугольник AB'CA'BC', в котором каждый из углов A'BC', C'AB', B'CA' больше 120°, а для сторон выполнены равенства
Докажите, что из отрезков AB', BC', CA' можно составить треугольник.
(Д. Бродский)
Чтобы из данных отрезков можно было составить треугольник, достаточно доказать, что наибольший из них (пусть это AC') меньше суммы двух других. Повернём треугольник AB'C вокруг точки A на 60° так, чтобы точка C перешла в точку B. Точка B' перейдёт при этом в новую точку X (см. рис.). Заметим, что в треугольнике C'AX боковые стороны AC' и AX равны, а угол между ними больше 60°. Тогда сторона C'X в нём наибольшая и не превосходит 
по неравенству треугольника. Получаем, что 
что и требовалось.