РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 11555 Добавить в вариант

В равностороннем треугольнике ABC проведены отрезки ED и GF, так что образовались два равносторонних треугольника ADE и GFC со сторонами 1 и 100 (точки E и G лежат на стороне AC). Отрезки EF и DG пересекаются в точке O, причём угол EOG равен 120°. Чему равна сторона треугольника ABC?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$\angle FEG = \angle OEG = 60 градусов минус \angle OGE = 60 градусов минус \angle DGE = \angle GDE.$

Значит, треугольники FGE и GED подобны по двум углам (ведь ещё $\angle DEG = \angle FGE = 120 градусов правая круглая скобка ,$ откуда $FG : GE = GE : E D,$ поэтому $GE = корень из: начало аргумента: FG умножить на ED конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 умножить на 1 конец аргумента = 10,$ и далее $AC = 1 плюс 10 плюс 100 = 111.$

Ответ: 111.

Турнир городов, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2025 год

Классификатор: Методы геометрии. Подобие, Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Помощь