Окружность с центром в точке O проходит через вершины B и C треугольника ABC и вторично пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Предположим, что окружности с диаметрами BP и CQ касаются друг друга внешним образом в точке T. Найдите длину отрезка AO, если AB = 18, AC = 36 и AT = 12.
Заметим, что для указанных в условии трёх окружностей прямые AB, AC и общая касательная в точке T радикальные оси трёх пар этих окружностей. Поэтому они пересекаются в одной точке — это очевидно точка A. Пусть MB и MC — середины отрезков BP и CQ соответственно.
Заметим пару интересных фактов:
— MB и MC — центры окружностей, построенных на BP и CQ как на диаметрах соответственно, значит, точка касания T этих окружностей лежит на отрезке MBMC.
— MB — середина хорды окружности (BPQC), значит, 
аналогично 
Из того, что 
следует, что четырёхугольник MBAMCO — вписанный, откуда 
Поскольку AT — радикальная ось окружностей с центрами MB и MC то 
Так как T лежит на MBMC, то 
Значит, треугольники AMBT и AOMC подобны, откуда мы и найдём AO: 
Осталось найти AMB и AMC.
Для этого заметим, что по теореме о секущей и касательной 
откуда 
Аналогично, 
Далее, например, из равенств 
и 
получаем что AMB = 13, AMC = 20. Значит, 
Ответ: 