РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 11577 Добавить в вариант

Числа $a меньше b$ таковы, что их НОД имеет 39 делителей (включая 1 и себя), а их НОК  — 77 делителей. Докажите, что b  =  a².

Спрятать решение

Решение.

Напомним следующий факт.

Пусть $x = p_1 в степени левая круглая скобка b_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка b_2 правая круглая скобка \ldots p_k в степени левая круглая скобка b_k правая круглая скобка .$ Тогда количество делителей равно $левая круглая скобка b_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка b_k плюс 1 правая круглая скобка .$

Пусть $d = HOД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка ,$ тогда $d = p в степени левая круглая скобка 38 правая круглая скобка$ или $d = p в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка q в квадрате$ для некоторых простых p и q.

Пусть $M = HOK левая круглая скобка a, b правая круглая скобка ,$ тогда $M = p в степени левая круглая скобка 76 правая круглая скобка$ или $M = p в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка q в степени 6 .$ Случай $M = p в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка q в степени 6$ противоречит любому из случаев выбора d, так как M должно делиться на d. Значит, $M = p в степени левая круглая скобка 76 правая круглая скобка ,$ а тогда $d = p в степени левая круглая скобка 38 правая круглая скобка ,$ то есть a и b  — степени p. Если точнее, $a = p в степени левая круглая скобка 38 правая круглая скобка ,$ $b = p в степени левая круглая скобка 76 правая круглая скобка .$ Отсюда и следует утверждение задачи.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Полное решение  — 7 баллов.

Пропущен разбор некоторых случаев разложений a и b  — 5 баллов.

Решение опирается на то что b  =  a²  — 0 баллов.

Олимпиада Юношеской математической школы, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2025 год

Классификатор: Алгебра: числа. НОД и НОК

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь