В углы A и B треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O1 и O2 равного радиуса, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны AB в точках K1, K2 и K соответственно, при этом AK1 = 4, BK2 = 6,
а) Найдите длину отрезка AK.
б) Пусть окружность с центром O1 касается стороны AC в точке K3. Найдите угол CAB, если известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника OK1K3.
а) Прямые 
и 
являются биссектрисами углов A и B треугольника, поэтому они пересекаются в точке O — центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O1 и O2 через r, а радиус вписанной окружности через R. Треугольники ОKВ и 
подобны, коэффициент подобия равен 
поэтому 
Аналогично 
откуда 
б) Из условия следует, что 
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на отрезок 
Тогда
Значит,
Ответ: 
