Сюжет 1
Дан произвольный треугольник ABC с ортоцентром H. Внутренняя и внешняя биссектрисы угла B пересекают прямую AC в точках L и K соответственно. Рассматриваются две окружности: 
1 — описанная окружность треугольника AHC, 2 построена на отрезке KL, как на диаметре.
1.4 Докажите, что касательная к окружности 
в точке пересечения с медианой BM пресекает прямую AC в середине
По доказанному ранее, точка пересечения Y окружности w1 с медианой лежит на w2, с другой стороны, середина U 
тому, что w2 неподвижна при инверсии относительно w1. Достаточно проверить, что какая-то из точек w2 (не лежащих на w1) перейдёт в точку на w2 при инверсии относительно w1. Обозначим за O — центр окружности w1. Рассмотрим точку L и инверсную ей точку L′, тогда
Таким образом, L′L — биссектриса AL′C, то есть 
и L′ лежит на Аполлониевой окружности w2.
Из чего очевидно следует утверждение задачи.