Сюжет 1
Дан произвольный треугольник ABC с ортоцентром H. Внутренняя и внешняя биссектрисы угла B пересекают прямую AC в точках L и K соответственно. Рассматриваются две окружности: 
1 — описанная окружность треугольника AHC, 2 построена на отрезке KL, как на диаметре.
1.1 Пусть точка T такова, что TL является биссектрисой треугольника ATC. Докажите, что тогда ТК является внешней биссектрисой того же треугольника.
Заметим, что по свойствам биссектрис для точек K и L выполняется
Так как TL биссектриса треугольника ATC, то
Что означает, что TK — внешняя биссектриса треугольника ATC (по свойству внешней биссектрисы).
На самом деле w2 — окружность Аполлония для точек A и C и соотношения 
Из чего очевидно следует утверждение задачи.
а 
Так как AHCX — вписанный четырёхугольник, 
Значит, 
а X симметрична B относительно