Обо­зна­чим (см. верх­ний рис.) вер­ши­ну ко­ну­са бук­вой Q, центр мень­ше­го ос­но­ва­ния T, точку на верх­нем ос­но­ва­нии, бли­жай­шую к A – B, на­чаль­ную точку об­рат­но­го марш­ру­та  — C. Пусть D  — по­след­няя точку об­рат­но­го марш­ру­та на окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния (воз­мож­но, D сов­па­да­ет с C или B). Угол обо­зна­чим за α.

Рас­смот­рим развёртку бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са (см. ниж­ний рис.), верх­нее ос­но­ва­ние при­ло­жим к точке D так, чтобы оно ка­са­лось развёртки бо­ко­вой по­верх­но­сти. Со­хра­ним обо­зна­че­ния точек, а в слу­чае раз­дво­е­ния ис­поль­зу­ем ин­дек­сы (так, к при­ме­ру, точки C₁ и C₂ на ниж­нем ри­сун­ке со­от­вет­ству­ют точке C на верх­нем ри­сун­ке). Любая дуга окруж­ность верх­не­го ос­но­ва­ния пе­ре­хо­дит в дугу окруж­но­сти в два раза боль­ше­го ра­ди­у­са, по­сколь­ку

Зна­чит, уг­ло­вая мера будет умень­шать­ся в два раза. В част­но­сти, окруж­ность верх­ней грани пе­рей­дет в по­лу­окруж­ность, то есть бо­ко­вая по­верх­ность пе­рейдёт в часть плос­ко­сти, огра­ни­чен­ной двумя кон­цен­три­че­ски­ми по­лу­окруж­но­стя­ми и диа­мет­ром, про­хо­дя­щим через их концы, QD будет диа­мет­ром верх­не­го ос­но­ва­ния.

Угол

По ска­зан­но­му выше, уг­ло­вые меры дуг и от­но­сят­ся 2 : 1. Это зна­чит, что

Тогда а по­то­му точка C₁ лежит на пря­мой QC₂. Учи­ты­вая, что QD  — диа­метр, по­лу­ча­ем, что C₁  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки D на пря­мую QC₂. Тогда длина марш­ру­та, иду­ще­го по верх­не­му ос­но­ва­нию (см. верх­ний рис.) из C в D и по бо­ко­вой по­верх­но­сти из D в A будет не мень­ше длины ло­ма­ной (см. ниж­ний рис.) C₁DA₁ и не мень­ше длины пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из A₁ на пря­мую QC₂.

До­ка­жем, что су­ще­ству­ет марш­рут рав­ный длине этого пер­пен­ди­ку­ля­ра. Для этого до­ста­точ­но по­ка­зать, что про­ек­ция точки A₁ лежит на от­рез­ке QC₂, по­сколь­ку в этом слу­чае пер­пен­ди­ку­ляр пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность B₁C₂B₂. Точка пе­ре­се­че­ния дает точку D для крат­чай­ше­го марш­ру­та, а пер­пен­ди­ку­ляр изоб­ра­жа­ет на раз­верт­ке крат­чай­ший марш­рут. Так как путь по краю верх­не­го ос­но­ва­ния со­став­ля­ет треть длины окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния, то

Тогда от­но­ше­ние QC₂ к QA₁ равно от­но­ше­нию длин окруж­но­стей ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний и равно что боль­ше Зна­чит, про­ек­ция QA₁ на пря­мую QC₂ мень­ше длины от­рез­ка QC₂, что и тре­бо­ва­лось.

Ра­ди­ус ниж­не­го ос­но­ва­ния Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка (см. ниж­ний рис.) длина пер­пен­ди­ку­ля­ра равна

Ответ: