Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания 10, а верхнего основания — 9. Склон горы наклонён под углом 60° к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 3 (см. рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
Решение. 
Обозначим (см. верхний рис.) вершину конуса буквой Q, центр меньшего основания T, точку на верхнем основании, ближайшую к A – B, начальную точку обратного маршрута — C. Пусть D — последняя точку обратного маршрута на окружности верхнего основания (возможно, D совпадает с C или B). Угол 
обозначим за α.
Рассмотрим развёртку боковой поверхности конуса (см. нижний рис.), верхнее основание приложим к точке D так, чтобы оно касалось развёртки боковой поверхности. Сохраним обозначения точек, а в случае раздвоения используем индексы (так, к примеру, точки C1 и C2 на нижнем рисунке соответствуют точке C на верхнем рисунке). Любая дуга окружность верхнего основания переходит в дугу окружности в два раза большего радиуса, поскольку
Значит, угловая мера будет уменьшаться в два раза. В частности, окружность верхней грани перейдет в полуокружность, то есть боковая поверхность перейдёт в часть плоскости, ограниченной двумя концентрическими полуокружностями и диаметром, проходящим через их концы, QD будет диаметром верхнего основания. 
Угол
По сказанному выше, угловые меры дуг 
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что
Тогда 
а потому точка C1 лежит на прямой QC2. Учитывая, что QD — диаметр, получаем, что C1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую QC2. Тогда длина маршрута, идущего по верхнему основанию (см. верхний рис.) из C в D и по боковой поверхности из D в A будет не меньше длины ломаной (см. нижний рис.) C1DA1 и не меньше длины перпендикуляра, опущенного из A1 на прямую QC2.
Докажем, что существует маршрут равный длине этого перпендикуляра. Для этого достаточно показать, что проекция точки A1 лежит на отрезке QC2, поскольку в этом случае перпендикуляр пересекает полуокружность B1C2B2. Точка пересечения дает точку D для кратчайшего маршрута, а перпендикуляр изображает на развертке кратчайший маршрут. Так как путь по краю верхнего основания составляет треть длины окружности верхнего основания, то
Тогда отношение QC2 к QA1 равно отношению длин окружностей нижнего и верхнего оснований и равно 
что больше 
Значит, проекция QA1 на прямую QC2 меньше длины отрезка QC2, что и требовалось.
Радиус нижнего основания 
Тогда
Из прямоугольного треугольника (см. нижний рис.) длина перпендикуляра равна
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Балл |
|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: 
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
что больше 
Тогда 
