РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5376 Добавить в вариант

Докажите неравенство $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате больше или равно xy плюс yz плюс zx.$ При каком наибольшем k верно неравенство

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате плюс t в квадрате больше или равно k левая круглая скобка xy плюс yz плюс zt плюс tx плюс xz плюс ty правая круглая скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Первое неравенство задачи следует из тождества

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате минус xy минус yz минус zx= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка в квадрате .$

Положив во втором неравенстве $x=y=z=t,$ получим $4x в квадрате больше или равно 6kx в квадрате ,$ значит, $k меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Доказать это равенство при $k= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ можно точно также, как и первое.

Ответ: $k= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Помощь