РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5414 Добавить в вариант

Действительные числа x, y и a таковы, что $x плюс y=a минус 1,$ $x в квадрате плюс y в квадрате =5a в квадрате минус 3a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ При каком a произведение xy  — наибольшее?

Спрятать решение

Решение.

Имеем

$2xy= левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка = минус 4a в квадрате плюс a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее, система

$система выражений x плюс y=a минус 1,x в квадрате плюс y в квадрате =5a в квадрате минус 3a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .$

разрешима только в том случае, если $x в квадрате плюс y в квадрате больше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: 9a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус 2a больше или равно 0,$ или $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Квадратная функция $y= минус 4a в квадрате плюс a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ на указанном множестве принимает наибольшее значение при $a=0$ (см. рисунок).

Ответ: при $a=0.$

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики, Задачи с параметрами. Системы уравнений

Спрятать решение · Помощь