Окружность радиуса 1 касается прямой P в точке A и прямой Q в точке B так, что хорда стягивает дугу окружности в 60°. Прямые P и Q пересекаются в точке F. Точка C расположена на луче AF, а точка D — на луче FB так, что AC = BD = 2. Найти длину медианы треугольника CBD, проведенной из вершины B.
Пусть точка O — центр окружности. Тогда отрезок OA перпендикулярен прямой P, отрезок OB перпендикулярен прямой Q и
По условию хорда AB стягивает дугу окружности в 60°, значит, 
Далее, 
так как это отрезки касательных, проведенных к данной окружности из одной точки.
Проведем отрезок OF. Тогда прямоугольные треугольники AOF и BOF равны по гипотенузе и катету. Значит, 
Тогда 
Отсюда 
Из прямоугольных треугольников AOF и BOF получаем 
Применим теорему косинусов в треугольниках BFC и DFC:
Рассмотрим теперь треугольник BCD. Пусть 
—
Применим теорему косинусов в треугольниках BCE и BDE:
Складывая, получим
откуда, домножив на 2 и учитывая равенство CE и DE, получим:
Окончательно,
Тогда медиана
Ответ: 