РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7010 Добавить в вариант

Даны натуральные числа m и n (m < n) и большая шоколадка, стороны которой делятся на n⁵. (Все шоколадки в этой задаче  — клетчатые прямоугольники, сторона клетки равна 1.) Леша пять раз съедал по несколько клеточек так, что получалась очередная меньшая шоколадка, площадь которой каждый раз составляла долю $дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби$ от площади предыдущей шоколадки. Докажите, что он сможет съесть еще несколько клеточек так, что получится совсем уже маленькая шоколадка, площадь которой составляет долю $левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка$ от площади исходной большой шоколадки.

Спрятать решение

Решение.

Пусть исходная шоколадка имела размеры $a n в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка \times b n в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$ Тогда ее площадь была равна $a b n в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ Пусть после пятикратного обкусывания получилась шоколадка $x \times y$ площади $x y=a b m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$ Так как $x меньше или равно a n в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ $y меньше или равно b n в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ то $x больше или равно b m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ $y больше или равно a m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$ Это значит, что шоколадку $x \times y$ можно уменьшить до размеров $b m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка \times a m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ и эта шоколадка как раз в $левая круглая скобка дробь: числитель: m , знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ раз отличается по площади от шоколадки $x \times y .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Помощь