В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом 
при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы основания — на отрезках AB и CD. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.
Пусть KLM — один из таких треугольников, O — середина его основания KM (см. рисунок). Тогда LO — медиана, а значит, и биссектриса, и высота треугольника KLM. Поскольку углы KBL и LOK прямые, точки B и O лежат на окружности с диаметром KL, откуда: 
Аналогично получаем, что 
Тогда O — точка пересечения прямых, проведённых из вершин B и C под углом 
к сторонам прямоугольника BA и 
соответственно, то есть она не зависит от положения треугольника KLM.