РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 8847 Добавить в вариант

Студент, обучающийся на направлении «математика и компьютерные науки», придумал конечное множество M точек на плоскости такое, что для любых двух точек A, B из M найдется точка $C принадлежит M,$ для которой $\angle A C B= альфа ,$ где α — фиксированный угол. Чему равен угол α?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим все отрезки, соединяющие точки данного множества. Так как точек конечное число, среди этих отрезков есть наибольший A₁B₁ и наименьший A₂B₂. Тогда точка C₁, для которой $\angle A_1 C_1 B_1= альфа$ не может лежать на прямой A₁B₁, поскольку в этом случае $альфа =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ но точки $C_2 принадлежит M$ такой, что $\angle A_2 C_2 B_2=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ быть не может. Аналогично, и точка C₂, для которой $\angle A_2 C_2 B_2= альфа ,$ не может лежать на прямой A₂B₂. Следовательно, точки A₁C₁ и B₁ являются вершинами треугольника, в котором $альфа =\angle C_1$   — наибольший. Следовательно, его величина не меньше чем 60°. С другой стороны, в треугольнике A₂C₂B₂ угол C₂  — наименьший и, значит, $альфа меньше или равно 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Следовательно, $альфа =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 60°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Полное обоснованное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.

Задача практически решена с несущественными недочётами — 6 баллов.

Имеется существенное продвижение в получении результата — 5 баллов.

Отмечено заметное продвижение в поисках решения — 4 балла.

Отмечено некоторое продвижение в поисках решения — 3 балла.

Задача не решена, но приведены формулы, чертежи или соображения, имеющие отношение к решению задачи — 2 балла.

Задача не решена, но предпринята попытка решения с приведением формул, чертежей или соображений, возможно имеющих отношение к решению задачи — 1 балл.

Олимпиада Океан знаний, 10, 11, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь