РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 958 Добавить в вариант

Отображение f плоскости сопоставляет точке с координатами $левая круглая скобка u, v правая круглая скобка$ точку $левая круглая скобка u плюс v; 2uv правая круглая скобка .$

а)  Найдите число элементов в прообразах точек $A левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 2; 2 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка .$

б)  Найдите множество значений отображения f.

в)  Докажите, что при всех действительных c образы прямых $u=c$ и $v=c$ совпадают и являются касательными фиксированной параболы.

Спрятать решение

Решение.

Точка $P левая круглая скобка x, y правая круглая скобка$ входит в множество значений отображения f тогда и только тогда, когда имеет решение система

$система выражений u плюс v=x,2uv=y, конец системы .$

т. е. когда разрешимо уравнение $u в квадрате минус ux плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби y=0,$ значит, $x в квадрате минус 2y больше или равно 0.$

а)  Точка A не имеет прообраза. Прообраз B  — точка $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ,$ а прообраз C состоит из двух точек.

Ответ: 0; 1; 2.

б)  См. рисунок.

в)  Точки $P левая круглая скобка c; t правая круглая скобка$ и $Q левая круглая скобка t; c правая круглая скобка$ лежат на прямых $u=c$ и $v=c$ соответственно и переходят при отображении f в точку $левая круглая скобка c плюс t; 2ct правая круглая скобка ,$ лежащую на прямой $y=2c левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка ,$ касающейся параболы $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате$ в точке $левая круглая скобка 2; 2c в квадрате правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Анализ. Касательная

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь