Най­ди­те наи­боль­шее пя­ти­знач­ное число, ко­то­рое в 51 раз боль­ше квад­ра­та суммы своих цифр. Ре­ше­ние обос­нуй­те.

На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны 9 точек с ко­ор­ди­на­та­ми 2; 25; 7; −3; 12; 19; −5; 8; 9. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ту точки, сумма рас­сто­я­ний от ко­то­рой до ука­зан­ных 9 точек ми­ни­маль­на. Ответ обос­нуй­те.

Клю­чом шифр­си­сте­мы слу­жит таб­ли­ца 4 × 4, в каж­дую ячей­ку ко­то­рой за­пи­са­на одна из цифр 0, 1, 2. При этом долж­ны де­лить­ся на 3 сумма цифр в каж­дой стро­ке, сумма цифр в каж­дом столб­це, а также суммы цифр на каж­дой из двух диа­го­на­лей, от­ме­чен­ных пунк­ти­ром. На ри­сун­ке при­ве­ден один из воз­мож­ных ва­ри­ан­тов ключа. Сколь­ко су­ще­ству­ет всего раз­лич­ных клю­чей?

Целое число может быть пре­об­ра­зо­ва­но сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Пусть, на­при­мер, Пред­ста­вим его в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния пя­ти­знач­ным чис­лом: Те­перь вы­бе­рем какое-ни­будь целое число и сдви­нем по­лу­чив­шу­ю­ся стро­ку 01001 цик­ли­че­ски на c по­зи­ций влево. На­при­мер, при по­лу­чит­ся стро­ка 10010, пред­став­ля­ю­щая собой дво­ич­ную за­пись числа 18. Зна­чит, сдви­гом на одну по­зи­цию из числа 9 по­лу­ча­ет­ся число 18; будем это за­пи­сы­вать так: (Если 01001 сдви­нуть влево на две по­зи­ции, то по­лу­чит­ся 00101, то есть Итак,   — это число, по­лу­чив­ше­е­ся сдви­гом числа s на c по­зи­ций влево.

Для за­шиф­ро­ва­ния осмыс­лен­но­го слова вы­би­ра­ет­ся сек­рет­ный ключ  — набор из 64 чисел

Затем с каж­дой бук­вой слова (по от­дель­но­сти) про­де­лы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щее. Букву за­ме­ня­ют чис­лом a по таб­ли­це и по­сле­до­ва­тель­но вы­чис­ля­ют

Ис­ход­ную букву затем за­ме­ня­ют на букву, со­от­вет­ству­ю­щую числу a₃₂. (Если в про­цес­се вы­чис­ле­ний по­лу­ча­ет­ся число, пре­вы­ша­ю­щее 30, то оно за­ме­ня­ет­ся остат­ком от де­ле­ния на 31. Так, сумму сле­ду­ет за­ме­нить на 6.)

В ре­зуль­та­те за­шиф­ро­ва­ния по­лу­чил­ся набор букв ЯГ­КЫ­НИ. Най­ди­те ис­ход­ное слово, если из­вест­но, что при за­шиф­ро­ва­нии на этом ключе буква Ы пе­ре­хо­дит в букву b, а буква П  — в E.

Для за­шиф­ро­ва­ния осмыс­лен­но­го слова его буквы за­ме­ни­ли чис­ла­ми x₁, x₂, ..., x_n по таб­ли­це. Затем вы­би­ра­ли чет­ные на­ту­раль­ные числа p и q и для каж­до­го числа из со­от­но­ше­ний нашли целые числа y_i и z_i. Потом по фор­му­лам по­лу­чи­ли числа ..., (где r₃₂(a)h  — оста­ток от де­ле­ния числа a на 32), ко­то­рые вновь за­ме­ни­ли бук­ва­ми со­глас­но таб­ли­це. В ре­зуль­та­те по­лу­чи­ли вот что: ЖЯ­ЮЦКР. Най­ди­те ис­ход­ное слово, если из­вест­но, что оно на­чи­на­ет­ся на букву В.

Устрой­ство при­ни­ма­ет на вход и вы­да­ет на выход на­бо­ры из n битов (при­чем По­дан­ный на вход набор пре­об­ра­зу­ет­ся в вы­ход­ной набор

где ⊕ — стан­дарт­ная опе­ра­ция сло­же­ния битов:

Подав те­перь этот набор h(x) на вход, по­лу­чим на вы­хо­де набор ко­то­рый вновь по­да­дим на вход и по­лу­чим и т. д. До­ка­жи­те, что если все на­бо­ры x, h(x), h⁽²⁾(x), ..., h^(k)(x) ока­за­лись раз­лич­ны­ми, то