PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Изобразите на плоскости множество точек, координаты 
которых удовлетворяют неравенству 
в) Докажите, что функция 
непериодична.
г) Найдите все такие a, что при любом b уравнение 
имеет решение.
Решение. а) Сделав замену 
получим 
Ответ: 10; 100.
б) См. рисунок.
в) Данная функция имеет непрерывную производную, которая была бы ограниченной, если бы f (а значит, и 
) являлась периодической функцией. Однако ясно, что 
не ограничена, поскольку
Другой подход: 
если 
Попробуйте доказать, что множество 
не переходит в себя ни при каком сдвиге 
числовой прямой.
г) Геометрическая идея: прямая
пересечет график функции 
при любом b в том и только том случае, если она идет круче, чем этот график (см. рисунок).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на отрезке 
или 
при 
отсюда 
Либо 
получим 
или 
получим 
или 
откуда 
нам нужно определить множество значений функции 
при 
кроме 
(поскольку при этих t имеем 
и 
не определено.
—
причем 
а наибольшее — при 
или 
Тогда 
и 
поэтому область значений на отрезке [−1; 1] будет 
а на интервале [−1; 1] 
(то есть 
других подходящих точек на этом интервале нет), то 
и уравнение выполнено при любом a. Если же 
то можно поделить обе части уравнения на 
и получить уравнение 
где 
При 
получаем 
и 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x из данного в задаче промежутка.
и принимает по одному разу все значения из полуинтервала 
уравнение имеет два корня, а при прочих a — один корень (напомним, что 
является корнем всегда).
и 
два — при 
точку 
и 
совпадают и являются касательными фиксированной параболы.
входит в множество значений отображения f тогда и только тогда, когда имеет решение система 
значит, 
а прообраз C состоит из двух точек. 
и 
лежат на прямых 
лежащую на прямой 
касающейся 
— многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
и докажите, что для любого квадратного трехчлена 
выполняется неравенство 
Переход. Пусть утверждение верно при 
Докажем его при 
тогда
получается увеличением на 1 степени 
а старший коэффициент многочлена 
получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена 
Поскольку 
не изменится при переходе к 
и
следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство 
то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если 
то хотя бы одно из чисел 
не меньше 