На какое мак­си­маль­ное число раз­лич­ных пря­мо­уголь­ни­ков можно раз­ре­зать шах­мат­ную доску 8 на 8 кле­ток? Все раз­ре­зы долж­ны про­хо­дить толь­ко по ли­ни­ям сетки. Пря­мо­уголь­ни­ки раз­лич­ны, если они не равны как гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры.

Могут ли в не­ко­то­ром ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы угла А, вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны В и ме­ди­а­ны, про­ведённой из вер­ши­ны С яв­лять­ся вер­ши­на­ми не­вы­рож­ден­но­го рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка?

Пусть дву­знач­ные числа и та­ко­вы, что от­но­ше­ние четырёхзнач­но­го числа к сумме яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Найти все воз­мож­ные зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать это число.

Из­вест­но, что зна­че­ния квад­рат­но­го трёхчле­на на ин­тер­ва­ле [−1, 1] не пре­вос­хо­дят по мо­ду­лю 1. Найти мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние суммы

Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство целых чисел можно за­пи­сать в ряд так, чтобы сумма любых пяти под­ряд иду­щих из них была боль­ше нуля, а сумма любых семи под­ряд иду­щих из них была мень­ше нуля?