В треугольной пирамиде ABCD с основанием ABC боковые ребра попарно перпендикулярны, DA = DB = 2, DC = 5. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от ребер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Обозначим через N точку, из которой испускается луч, через K — точку на основании пирамиды, в которую попадёт луч в конце.
Будем последовательно «выпрямлять» путь луча следующим образом: если в какой-то момент луч должен отразиться от некоторой плоскости, будем считать, что он продолжает свой путь, но в «зеркальной» копии пирамиды. Заметим также, что в силу перпендикулярности рёбер DA, DB и «DC» плоскости (ABD), (BCD) и (CAD) при симметрии относительно друг друга остаются на месте. Поэтому, результатом нашего «выпрямления» будет отрезок NK1, где K1 точка, полученная из K после последовательных отражений относительно плоскостей (ABD), (BCD) и (CAD) в некотором порядке. Длина отрезка NK1 при этом как раз равняется суммарной длине, пройденной лучом.
Введём координаты: D — центр координат, DA, DB и DC — направления осей. Тогда симметрия относительно каждой из указанных плоскостей меняет знак ровно одной из координат точки. Следовательно, точка K1 получается из точки K изменением знаков всех координат, то есть симметрией относительно точки D. Следовательно, точка K1 лежит на образе плоскости ABC при симметрии относительно точки D.
Длина любого такого отрезка не превосходит расстояния между этими плоскостями. Несложно видеть, что это расстоян ие равняется удвоенному расстоянию от точки D до плоскости ABC. Дальше рассуждать можно разными способами, приведём только один из них.
Расстояние от точки D до плоскости ABC равняется высоте пирамиды h, опущенной из точки D. Объём пирамиды ABCD тогда равен, с одной стороны,
а с другой
Осталось найти SABC. Это также можно сделать несколькими способами.
Например: по теореме Пифагора
откуда
и
Следовательно,
откуда и следует, что длина пути любого луча не меньше 
Осталось привести пример, при котором найденная нами длина достигается. Для этого достаточно предьявить точку на плоскости ABC, перпендикуляр из которой попадает внутрь треугольника, симметричного ABC относительно точки D.
Действительно, тогда координаты точки K1 будут отрицательны, поэтому перпендикуляр пересечёт все координатные плоскости. В качестве точки N подойдёт, например, почти любая точка из окрестности основания перпендикуляра из точки D на плоскость (ABC). Почти любая, так как нам необходимо, чтобы перпендикуляр NK1 не проходил через координатные оси.
Ответ: 
Комментарий.
Любознательный читатель может обратить внимание, что ситуация, описанная в задаче, взята из жизни — речь идёт про уголковый отражатель, он же катафот.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
В треугольной пирамиде ABCD с основанием ABC боковые ребра попарно перпендикулярны, DA = DB = 2, DC = 5. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от ребер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Обозначим через N точку, из которой испускается луч, через K — точку на основании пирамиды, в которую попадёт луч в конце.
Будем последовательно «выпрямлять» путь луча следующим образом: если в какой-то момент луч должен отразиться от некоторой плоскости, будем считать, что он продолжает свой путь, но в «зеркальной» копии пирамиды. Заметим также, что в силу перпендикулярности рёбер DA, DB и DC плоскости (ABD), (BCD) и (CAD) при симметрии относительно друг друга остаются на месте. Поэтому, результатом нашего «выпрямления будет отрезок NK1, где K1 точка, полученная из K после последовательных отражений относительно плоскостей (ABD), (BCD) и (CAD) в некотором порядке. Длина отрезка NK1 при этом как раз равняется суммарной длине, пройденной лучом.
Введём координаты: D — центр координат, DA, DB и DC — направления осей. Тогда симметрия относительно каждой из указанных плоскостей меняет знак ровно одной из координат точки. Следовательно, точка K1 получается из точки K изменением знаков всех координат, то есть симметрией относительно точки D. Следовательно, точка K1 лежит на образе плоскости ABC при симметрии относительно точки D.
Длина любого такого отрезка не превосходит расстояния между этими плоскостями. Несложно видеть, что это расстояние равняется удвоенному расстоянию от точки D до плоскости ABC. Дальше рассуждать можно разными способами, приведём только один из них.
Расстояние от точки D до плоскости ABC равняется высоте пирамиды h1 опущенной из точки D. Объём пирамиды ABCD тогда равен, с одной стороны, 
а с другой
Осталось найти SABCD. Это также можно сделать несколькими способами.
Например: по теореме Пифагора
в равнобедренном треугольнике ACB легко вычисляется
откуда
и
Следовательно,
откуда и следует, что длина пути любого луча не меньше
Осталось привести пример, при котором найденная нами длина достигается. Для этого достаточно предъявить точку на плоскости ABC, перпендикуляр из которой попадает внутрь треугольника, симметричного ABC относительно точки D.
Действительно, тогда координаты точки K1 будут отрицательны, поэтому перпендикуляр пересечёт все координатные плоскости. В качестве точки N подойдёт, например, почти любая точка из окрестности основания перпендикуляра из точки D на плоскость (ABC). Почти любая, так как нам необходимо, чтобы перпендикуляр NK1 не проходил через координатные оси.
Комментарий. Любознательный читатель может обратить внимание, что ситуация, описанная в задаче, взята из жизни — речь идёт про уголковый отражатель, он же катафот.
Ответ:
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Наверх