Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два целых решения.
Решение.
Обозначим Тогда исходное уравнение будет иметь вид Решениями последнего уравнения являются все u и v такие, что или и Отсюда имеем В системе Oxa построим графики функций и Правый луч угла лежит на прямой левый луч угла лежит на прямой
Найдем точки пересечения параболы с этими прямыми: x = 1, a = 1; x = −2, a = 4.
При a = 0 имеем два решения x = −1, x = 0. При a = 1 имеем два решения x = −1, x = 1. При a = 4 имеем два решения x = −2, x = 2. При имеем два решения x = 3, x = 4. При имеем два решения x = 4, x = 5. При остальных ровно двух решений не будет. Если то уравнение будет иметь не менее трех целых положительных решений. Решим это неравенство:
Если то рассматриваемое неравенство выполняется.
Ответ:
Критерии проверки:
Критерии
Баллы
Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ
0
Уравнение сведено к системе неравенств
4
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a
8
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек, и/или нет полного обоснования, что полученное множество значений является окончательным
Тогда исходное уравнение будет иметь вид 
Решениями последнего уравнения являются все u и v такие, что 
или 
и 
Отсюда имеем 
В системе Oxa построим графики функций 
и 
Правый луч угла лежит на прямой 
левый луч угла лежит на прямой 
x = 1, a = 1; 
x = −2, a = 4.
имеем два решения x = 3, x = 4. При 
имеем два решения x = 4, x = 5. При остальных 
ровно двух решений не будет. Если 
то уравнение будет иметь не менее трех целых положительных решений. Решим это неравенство: 
то рассматриваемое неравенство выполняется.
Тогда исходное уравнение будет иметь вид 
Решениями последнего уравнения являются все u и v такие, что 
или u = v, то есть:
и 
то 
если 
то
имеем два решения x = −1, x = 1. При 
имеем два решения x = –n, x = n.
x2 = 1 ;