РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2395 Добавить в вариант

Сюжет 1

Дан произвольный треугольник ABC с ортоцентром H. Внутренняя и внешняя биссектрисы угла B пересекают прямую AC в точках L и K соответственно. Рассматриваются две окружности: $\omega$ ₁  — описанная окружность треугольника AHC, $\omega$ ₂ построена на отрезке KL, как на диаметре.

1.2 Пусть X такая точка пересечения окружностей $\omega$ ₁ $\omega$ 2, что X и B лежат по разные стороны относительно прямой AC. Докажите, что тогда точка X лежит на медиане BM треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим точку пересечения прямой BH и окружности w₁, назовём её X и докажем, что она лежит на w₂. Пусть α, β, γ — углы треугольника ABC. Тогда $\angle H A C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма ,$ а $\angle A H X= гамма .$ Так как AHCX  — вписанный четырёхугольник, то $\angle A C X=\angle A H X= гамма .$ Аналогично получаем, что $\angle C A X= альфа .$ Значит, $\triangle A B C=\triangle A X C,$ а X симметрична B относительно прямой AC.

Окружность w₂ тоже симметрична относительно прямой AC и содержит точку B. Следовательно, точка X тоже лежит на окружности w₂.

Олимпиада Юношеской математической школы, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 2388 Добавить в вариант

1.1 Пусть точка T такова, что TL является биссектрисой треугольника ATC. Докажите, что тогда ТК является внешней биссектрисой того же треугольника.

Решение · Помощь