Сюжет 1
Дан произвольный треугольник ABC с ортоцентром H. Внутренняя и внешняя биссектрисы угла B пересекают прямую AC в точках L и K соответственно. Рассматриваются две окружности: 
1 — описанная окружность треугольника AHC, 2 построена на отрезке KL, как на диаметре.
1.3 Пусть Y — такая точка пересечения окружностей 
и 
что точки Y и B лежат по одну сторону относительно прямой AC. Докажите, что точка Y лежит на медиане BM.
Рассмотрим P — точку пересечения медианы BM и окружности w1. Заметим, что окружность w1 симметрична относительно серединного перпендикуляра к AC. Значит, точка P′ — образ P при симметрии относительно серединного перпендикуляра к AC — тоже лежит на окружности w1. Кроме того, в силу симметрии P′ лежит на прямой XM. Так как четырёхугольник AP′CM вписанный, 
и 
Отсюда получаем
Значит,
В силу симметрии это означает, что 
что означает, что P лежит на аполлониевой окружности w2, а значит, совпадает
Из чего очевидно следует утверждение задачи.