РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4713 Добавить в вариант

Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX  =  BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть L  — такая точка на отрезке AC, что прямые XL и BC параллельны. Докажите, что BL  — биссектриса треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Из того, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности, следует, что $B X умножить на B A=B Y умножить на B C,$ или $A B: B C=B Y: B X.$ Из того, что прямая XL параллельна стороне BC, следует, что $A L: L C=A X: X B.$ Тогда

$A L: L C=A X: X=B Y: B X=A B: B C,$

откуда по теореме о биссектрисе треугольника, получаем, что BL  — биссектриса треугольника ABC, что и требовалось.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4712: 4713 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь