РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 904 Добавить в вариант

На плоскости по клеточкам нарисовали три прямоугольника (не являющиеся квадратами) и один квадрат QRSC так, что в итоге получилась фигура, схематически изображенная на рисунке.

Известно, что площадь прямоугольника ABCD равна 35 клеткам. Найдите, чему равна площадь закрашенной фигуры, если известно, что AP < QR.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что каждый из изображенных отрезков имеет длину не меньше 1. Тогда $S_A B C D=A B умножить на B C=35,$ откуда либо $A B=5,$ $B C=7,$ либо наоборот $A B=7,$ $B C=5 .$ (варианты $35 \times 1$ и $1 \times 35$ не подходят, так как AB хотя бы две клетки, а BC хотя бы три). Вариант $A B=7,$ $B C=5$ также невозможен, потому что $B P=Q R больше A P,$ значит, в этом случае

$Q R=B P больше дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби .$

C другой стороны

$Q R=R S=B C минус B R минус S C=5 минус B R минус S C больше или равно 3 .$

Значит, $A B=5$ и $B C=7.$ Тогда $B P больше A P,$ следовательно, опять полу чаем 2 случая: либо $B P=4,$ $A P=1,$ либо $B P=3,$ $A P=2 .$ Рассмотрим первый из этих случаев. $B R не равно q A P=1,$ иначе левый верхний прямоугольник является квадратом; с другой стороны, $B R плюс S C=3,$ значит, $B R=2,$ $S C=1 .$ Тогда площадь закрашенной фигуры равна

$S_A B C D минус B P умножить на B R минус A P умножить на S C=35 минус 4 умножить на 2 минус 1 умножить на 1=26 .$

Второй случай: $B P=3,$ $A P=2 .$ Опять-таки, $B R не равно q A P ;$ с другой стороны, $B R плюс S C=4,$ значит, длина BR составляет 1 или 3 клетки, а SC соответственно наоборот, 3 или 1. В первом из вариантов нижний правый прямоугольник оказывается квадратом, во втором

$S_A B C D минус B P умножить на B R минус A P умножить на S C=35 минус 3 умножить на 3 минус 2 умножить на 1=24 .$

Ответ: 24 или 26.

Аналоги к заданию № 904: 915 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Олимпиадная геометрия. Раскраски

Спрятать решение · Помощь