В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, L — точка пересечения отрезков B1C1 и AA1, K — точка пересечения отрезков B1A1 и CC1, M — точка пересечения BK и AA1, N — точка пересечения BL и CC1. Найдите отношение 
если S — точка пересечения биссектрисы BB1 с отрезком MN, и 
По условию: 
обозначим 
Проведем прямые: LL1 параллельно BB1 и KK1 параллельно BB1, при 
и 
Заметим, что 
По теореме Фалеса и по свойствам биссектрис имеем соотношения:
или
тогда:
откуда 
Поскольку 
и 
то треугольники BL1 и BK1K подобны, 
Следовательно, BM — биссектриса треугольника LBK, 
По теореме Менелая для треугольника ABO имеем:
Так как треугольники ALL1 и AOB подобны, то
Аналогично,
По теореме Менелая для треугольника BKC имеем:
откуда 
Аналогично, для треугольника BLA имеем 
Тогда
Ответ: 