PDF-версии: 1.
i
а) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
б) Решите уравнение 
в) На рисунке изображен график функции. Нарисуйте график производной этой функции и дайте необходимые пояснения.
г) Две вершины квадрата, расположенного в первом координатном угле, имеют координаты 
и 
Найдите координаты двух других вершин и покажите, что центр квадрата лежит на биссектрисе этого координатного угла.
если 
Аналогично определяем знак 
Решение неравенства изображено на рисунке — «бесконечная шахматная доска».
тогда 
Так как она постоянна при 
то ее производная на этом луче равна нулю, а 
при 
Поскольку f убывает на интервале 
то здесь ее производная 
Далее, 
при 
и, поскольку f выпукла вниз и имеет прямую 
своей асимптотой, то 
возрастая, стремится к единице. 
и 
то координаты точки D будут 
а так как центр P квадрата — это середина отрезка BD, то его координаты 
значит, P лежит на прямой 
Координаты точки C — 
лежащих на отрезке 
в зависимости от действительного параметра a.
и обозначим 
Получим 
или 
получим 
или 
Вернёмся к замене переменной
и обозначим 
получим 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x и наоборот. 
на отрезке 
Построим график функции 
Это будет парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при 
Далее, 
Проводя горизонтальную прямую 
и изучая количество общих точек этой прямой и параболы при 
принимает все значения из промежутка 
и только их. Если разрешить 
то наибольшее значение функции 
по-прежнему будет при 
а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть либо 
либо 
Поэтому ответ 
и 
одно решение при 
два решения при 
при 
Первое неравенство очевидно. Второе сводится к 
значит, 
Равенство достигается при 
Пусть 
Обозначим через 
сумму площадей двух криволинейных треугольников, ограниченных графиком функции f, вертикальными прямыми 
и горизонтальной прямой, проходящей через точку графика с абсциссой 
может быть вычислена как разность площади A криволинейного треугольника, образованного прямыми 
и горизонтальной 
то есть 
Тогда
и отрицательно при 
Значит, 
и возрастает при 
Поэтому 
— 
и функция 
возрастает на 
картинка выглядит примерно так же, как в предыдущем пункте и все наши утверждения остаются верными, кроме конкретного значения A, которое все так же можно не искать.
Имеем (см. рис.): 
то 
Дифференцируя, получаем 
— точка минимума функции S.