PDF-версии: 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
Решение. а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если два, если и три корня, если 
справедливо неравенство 
таких что уравнение 
)
с 
и 
есть верхняя половина гиперболы, то при 
прямая 
пересекается с этим графиком тогда и только тогда, когда 
Если же 
то они пересекаются при 
или 
известно, что 
и если 
то 
монотонна.
и 
делятся на d, то q, а, следовательно, и p, делятся на d. 
так как нетрудно видеть, что 
откуда 
поэтому 
известно, что 
и 
представимо каждое натуральное число от 1 до 
Тогда, добавляя число 
мы сможем представить еще числа от 
до 
Поскольку по предположению 
в требуемом виде представляются все числа от 1 до 
причем в силу условия на данный набор чисел qk каждое 
появится ровно один раз, поэтому коэффициент при каждом таком одночлене равен единице. 
Из результатов предыдущих пунктов следует, что 