PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Игральный кубик подбрасывают дважды, при этом вычисляют и записывают сумму выпавших очков. Такую процедуру повторяют три раза (всего совершают шесть подбрасываний). Найдите вероятность того, что только одна из трех записанных сумм кратна трем.
Найдите наименьшее натуральное число m, при котором выражение 
делится на 2023 при любом нечетном натуральном n.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, L — точка пересечения отрезков B1C1 и AA1, K — точка пересечения отрезков B1A1 и CC1, M — точка пересечения BK и AA1, N — точка пересечения BL и CC1. Найдите отношение 
если S — точка пересечения биссектрисы BB1 с отрезком MN, и 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два целых решения. Укажите эти решения при каждом из найденных a.
Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через вершину C основания ABCDEF и параллельной медиане BM боковой грани SAB и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке O и радиусом 
с постоянной угловой скоростью 
Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна 
а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках P и K. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки P и K). Когда небесное тело (точка T) оказывается строго на прямой между точкой O и подзондовой точкой (точка Z), запускается таймер (t0 = 0). В точке Р небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой K вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке PK постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени t0, а также скорость подзондовой точки V2 на участке PK, если центральный угол POK равен углу PZO и в полтора раза меньше центрального угла POT. В расчетах используйте приближенное значение числа π — округлите его до целого значения.
вероятность «неудачи» 
Вероятность одного «успеха» в трех процедурах
Поскольку n — нечетное число, то
должно делиться на 289. Поскольку 289 и 141 взаимно просты, то 
С другой стороны,
Тогда 
и 
и
и 
При k = 6 имеем 
и s = 248.
обозначим 
Проведем прямые: LL1 параллельно BB1 и KK1 параллельно BB1, при 
и 
Заметим, что 
откуда 
Поскольку 
и 
то треугольники BL1 и BK1K подобны, 
Следовательно, BM — биссектриса треугольника LBK, 
Аналогично, для треугольника BLA имеем 
Тогда
Тогда исходное уравнение будет иметь вид 
Решениями последнего уравнения являются все u и v такие, что 
или u = v, то есть:
и 
то 
если 
то
имеем два решения x = −1, x = 1. При 
имеем два решения x = –n, x = n.
x2 = 1 ; 
где a — сторона основания пирамиды.
треугольники COU и CFP подобны,
через точку G (G — точка пересечения CP и NR) проведем прямую GH, параллельную SN, 
Тогда 
Треугольники GOT и GRC подобны,
Точка K — точка пересечения CH и SD. Поскольку SR — медиана SCD,
то CK также медиана.
и 
Найдем CJ1 по теореме косинусов: 
Используя различные формулы для нахождения площади треугольника DCJ1, имеем
Тогда
угол РОТ равен 
тогда 
откуда
Найдем PK с помощью теоремы косинусов: 
