Карлсо­ну на день рож­де­ния по­да­ри­ли боль­шую банку ма­ли­но­во­го ва­ре­нья. В те­че­ние 99 дней он ел ва­ре­нье по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу: для всех в k-⁠й день Карлсон ел от те­ку­ще­го остат­ка (в пер­вый день он съел по­ло­ви­ну всего ва­ре­нья, во вто­рой  — от остат­ка, и т. д.). Какая часть от из­на­чаль­но­го объёма ва­ре­нья оста­лась у Карлсо­на через 99 дней?

Най­ди­те наи­боль­шее де­ся­ти­знач­ное число, со­сто­я­щее из раз­лич­ных цифр, у ко­то­ро­го раз­ность между лю­бы­ми двумя со­сед­ни­ми циф­ра­ми не мень­ше 3.

Назовём дробь кра­си­вой, если a и b  — на­ту­раль­ные числа, сумма ко­то­рых равна 15 (дробь может быть со­кра­ти­мой). Сколь­ко су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел, пред­ста­ви­мых в виде суммы двух (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) кра­си­вых дро­бей?

Дан квад­рат ABCD. На плос­ко­сти от­ме­ти­ли такую точку X, что и Сколь­ко гра­ду­сов может со­став­лять угол BXA? Ука­жи­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

На фут­боль­ной три­бу­не крес­ла стоят в виде пря­мо­уголь­ни­ка, всего мест мень­ше 2022. После матча не­ко­то­рые крес­ла сло­ма­лись, причём всего сло­ман­ны­ми ока­за­лись всех кре­сел. При этом не менее чем в го­ри­зон­таль­ных рядов и не менее чем в вер­ти­каль­ных рядов что-то сло­ма­лось. Сколь­ко всего кре­сел на три­бу­не?

В мно­же­стве X со­дер­жит­ся раз­лич­ных дей­стви­тель­ных чисел, все они от­лич­ны от 0 или 1. Из­вест­но, что если то и Чему может быть равно n? Ука­жи­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

Петя раз­де­лил боль­шой пря­мо­уголь­ник 99 вер­ти­каль­ны­ми и 99 го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми на 10 000 пря­мо­уголь­ни­ков, пло­ща­ди ко­то­рых не­из­вест­ны. За один во­прос можно узнать у Пети зна­че­ние пло­ща­ди лю­бо­го из этих 10 000 пря­мо­уголь­ни­ков. За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство во­про­сов по­лу­чит­ся га­ран­ти­ро­ван­но узнать пло­щадь боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка?

Дан тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром Точки D и E на сто­ро­нах BC и AC со­от­вет­ствен­но та­ко­вы, что Сколь­ко гра­ду­сов со­став­ля­ет угол BEC?