Можно ли рас­ста­вить де­вять раз­лич­ных целых чисел в клет­ки таб­ли­цы 3 × 3 так, чтобы про­из­ве­де­ние чисел в каж­дой стро­ке рав­ня­лось 2025 и про­из­ве­де­ние чисел в каж­дом столб­це тоже рав­ня­лось 2025?

Можно ли на бес­ко­неч­ной клет­ча­той плос­ко­сти рас­ста­вить бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство шах­мат­ных коней (не более од­но­го коня в клет­ку) так, чтобы каж­дый конь бил ровно 6 дру­гих?

На­пом­ним, что шах­мат­ный конь бьет 8 кле­ток, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

В тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C про­ве­ли вы­со­ту CH. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки C и H, по­втор­но пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AC, CB и BH в точ­ках Q, P и R со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки HP и CR пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T. Что боль­ше: пло­щадь тре­уголь­ни­ка CPT или сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков CQH и HTR?

Каж­дая клет­ка квад­ра­та 100 × 100 по­кра­ше­на либо в белый, либо в чер­ный цвет. Ока­за­лось, что у каж­дой белой клет­ки ровно две со­сед­них с ней по сто­ро­не клет­ки по­кра­ше­ны в белый цвет, а у каж­дой чер­ной клет­ки ровно две со­сед­них с ней по сто­ро­не клет­ки по­кра­ше­ны в чёрный цвет. Най­ди­те мак­си­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство чер­ных кле­ток

У хо­зяй­ки есть кусок мяса, ко­то­рым она хочет на­кор­мить трех ко­ти­ков. Раз в не­сколь­ко се­кунд хо­зяй­ка от­ре­за­ет ку­со­чек мяса и скарм­ли­ва­ет его од­но­му из ко­ти­ков на свой выбор, при­чем каж­дый ку­со­чек дол­жен со­став­лять одну и ту же долю куска, от ко­то­ро­го его от­ре­за­ют. Через не­ко­то­рое время хо­зяй­ка уби­ра­ет оста­ток мяса в хо­ло­диль­ник. Может ли она скор­мить ко­ти­кам по­ров­ну мяса?

Вы­со­ты AA₁, BB₁, CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Бис­сек­три­са угла CBH пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CH в точке X, бис­сек­три­са угла BCH пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BH в точке Y. Обо­зна­чим ве­ли­чи­ну угла XA₁Y через α. Ана­ло­гич­но опре­де­лим β и γ. Най­ди­те зна­че­ние суммы α + β + γ.