PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, для которых уравнение 
имеет три корня.
Решение. Сразу исключим значение 
так как в этом случае единственный корень 
Поскольку 
при всех x, уравнение можно записать в виде
Корень 
есть при любых a. Для 
сократим уравнение на 
Получим уравнение 
где 
означает знак числа (в данном случае он равен +1 или −1, соответственно, при 
или 
Нам нужно найти значения a, при которых это уравнение имеет два корня, отличные от −1. При 
правая часть последнего уравнения положительна лишь при 
но в силу того, что вершина параболы 
имеет абсциссу 
квадратное уравнение не может иметь больше одного корня в области 
Значит, требуется найти положительные a, для которых уравнение 
имеет два корня, большие −1.
Итак, требуется решить неравенство
(с учетом положительности дискриминанта, то есть подкоренного выражения, а также параметра a). Тогда 
и, значит,
Ответ: 
Комментарий.
Задача допускает и другие (графические) решения.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
Его график пересекает оси координат в трёх точках, и через эти точки провели окружность, которая пересекла ось Oy ещё в одной точке. Найдите ординату этой четвертой точки.
то 
и применяя для окружности теорему об отрезках секущей, получим, что искомая ордината y0 удовлетворяет уравнению 
Но по теореме Виета 
откуда получаем 
Если а 
то учитывая отрицательные знаки c и y0, свойство секущих запишем в виде 
и снова получим тот же результат 
где V — объем тетраэдра ABCD.
и h — высота тетраэдра ABCD из точки D. Тогда h − xh — высота тетраэдра A1B1C1D1 из точки D1. 
получаем задачу на максимум для функции 
Решая эту задачу с помощью производной 
находим критическую точку 
в которой достигается наибольшее значение 
(в другой критической точке 
так же, как и при 
очевидно, достигается наименьшее значение 0). Что требовалось доказать.
получим 
решений. Кроме того, будет два решения, соответствующих числам 
и, аналогично, будет еще два решения, соответствующих числам 
Итого 400 решений.
и 
рациональны?
и 
где a, b — рациональные числа. Тогда 
от отсюда уже получается противоречие, так как в левой части рациональное число, а в правой — иррациональное. Значит, 
и на самом деле мы имеем два уравнения 
Вычитая эти уравнения, получим 
Но функция 
принимает наибольшее значение 
при 
(в этом можно убедиться, исследуя функцию с помощью производной или преобразовав данное выражение через вспомогательный угол). Таким образом, получаем противоречие (левая часть оказалась меньше правой).