Пред­ставь­те в виде не­со­кра­ти­мой дроби:

Миша, Антон, Катя и На­та­ша устро­и­ли тур­нир по на­столь­но­му тен­ни­су. На во­прос, кто какое место занял, они от­ве­ти­ли.

Миша:  — я не был ни пер­вым, ни по­след­ним.

Антон:  — я не был по­след­ним.

Катя:  — я была пер­вой.

На­та­ша:  — я была по­след­ней.

Из­вест­но, что кто-то один из ребят со­врал, а трое ска­за­ли прав­ду. Кто занял тре­тье место, если из­вест­но, что это был маль­чик?

Про на­ту­раль­ные числа x и y и целое не­чет­ное число z из­вест­но, что x! + y! = 48z + 2017. Най­ди­те все воз­мож­ные такие трой­ки чисел (x, y, z). (На­пом­ним, что 1!  =  1, 2!  =  1 · 2, n!  =  1 · 2 · ... · n)

Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей CE и DF пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF со сто­ро­ной 4. Точка K та­ко­ва, что Опре­де­ли­те, лежит ли точка K внут­ри, на гра­ни­це или вне ABCDEF, а также най­ди­те длину от­рез­ка KA.

Ре­ши­те в дей­стви­тель­ных чис­лах си­сте­му урав­не­ний

Срав­ни­те числа и

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC (AD > BC) бо­ко­вая сто­ро­на равна 20 см, угол BAC равен 45°. Пусть O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ABCD. Ока­за­лось, что пря­мые OD и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния AD тра­пе­ции.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние

имеет ровно три ре­ше­ния?

В пер­вен­стве по фут­бо­лу участ­ву­ет 16 ко­манд, ко­то­рые иг­ра­ют по разу друг с дру­гом. Какое наи­мень­шее число игр долж­но быть сыг­ра­но, чтобы среди любых трех ко­манд на­шлись две, уже сыг­рав­шие между собой?

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вые ребра по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, DA  =  DB  =  2, DC  =  5. Из точки ос­но­ва­ния ис­пус­ка­ют луч света. От­ра­зив­шись ровно по од­но­му разу от каж­дой бо­ко­вой грани (от ребер луч не от­ра­жа­ет­ся), луч по­па­да­ет в точку на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Какое наи­мень­шее рас­сто­я­ние мог прой­ти луч?