PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В соревновании по «крестикам-ноликам» по кубковой системе участвуют 1991 человек. Сколько будет сыграно партий до выявления победителя?
Покажите, что если из доски 
удалить любую клетку, то оставшуюся часть можно замостить уголками.
Докажите, что данной число — целое:
Действительные числа x, y и a таковы, что 
При каком a произведение xy — наибольшее?
Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции с длинами a и b и проходящего через точку пересечения ее диагоналей.
Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда его средние линии равны.
Решите уравнение 
(здесь 
— целая часть числа).
Петя, Коля и Вася решили 100 задач, причем каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу «трудной», если ее решил только один из мальчиков, и «легкой», если ее решили все трое. Докажите, что «трудных» задач на 20 больше, чем «легких».
Решите систему 
Решите уравнение 
(см. рис.): разделив ее на четыре квадрата 
и положив уголок в центр так, чтобы он не задевал квадратика, из которого удалена клетка, мы обнаружим, что на доске появились места еще для четырех уголков. После рассуждение проводится индукцией по n.
получим
то есть 
или 
Квадратная функция 
на указанном множестве принимает наибольшее значение при 
(см. рисунок).
пересекает график функции 
в точке с абсциссой 
а так как 
то 
Для того чтобы доказать, что найденное решение — единственное, достаточно проверить, что 
при 
и 
при 
Действительно, при 
видим, что оно очевидно при 
при 
а также при 
а 
откуда 
и 
тогда система приведется к уравнению:
получим уравнение 
откуда 
Поскольку 
— различные кубические уравнения 
то других корней оно не имеет, а так как 
и 
отрицательны, то единственное решение данного уравнения — это 
