Иг­раль­ный кубик под­бра­сы­ва­ют два­жды, при этом вы­чис­ля­ют и за­пи­сы­ва­ют сумму вы­пав­ших очков. Такую про­це­ду­ру по­вто­ря­ют три раза (всего со­вер­ша­ют шесть под­бра­сы­ва­ний). Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что толь­ко одна из трех за­пи­сан­ных сумм крат­на трем.

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число m, при ко­то­ром вы­ра­же­ние де­лит­ся на 2023 при любом не­чет­ном на­ту­раль­ном n.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AA₁, BB₁, CC₁, L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков B₁C₁ и AA₁, K  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков B₁A₁ и CC₁, M  — точка пе­ре­се­че­ния BK и AA₁, N  — точка пе­ре­се­че­ния BL и CC₁. Най­ди­те от­но­ше­ние если S  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы BB₁ с от­рез­ком MN, и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два целых ре­ше­ния. Ука­жи­те эти ре­ше­ния при каж­дом из най­ден­ных a.

Се­че­ние пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF об­ра­зо­ва­но плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну C ос­но­ва­ния ABCDEF и па­рал­лель­ной ме­ди­а­не BM бо­ко­вой грани SAB и апо­фе­ме SN бо­ко­вой грани SAF, сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2, а рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S до се­ку­щей плос­ко­сти равно 1. Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

Аст­ро­но­мы об­на­ру­жи­ли за пла­не­той Са­турн новое не­бес­ное тело, дви­жу­ще­е­ся по кру­го­вой ор­би­те, для изу­че­ния ко­то­ро­го был на­прав­лен на­уч­но-ис­сле­до­ва­тель­ский зонд  — ав­то­ном­ный робот, осна­щен­ный ра­кет­ны­ми дви­га­те­ля­ми, соб­ствен­ной энер­ге­ти­че­ской уста­нов­кой, си­сте­ма­ми ра­дио­свя­зи и на­ви­га­ции, на­уч­ны­ми при­бо­ра­ми, фото- и ви­део­тех­ни­кой. И все это управ­ля­ет­ся бор­то­вы­ми ком­пью­те­ра­ми. Для изу­че­ния най­ден­но­го объ­ек­та было при­ня­то ре­ше­ние про­из­ве­сти фо­то­съем­ку в двух точ­ках его ор­би­ты. После съе­мок в пер­вой точке, по­тре­бо­ва­лось скор­рек­ти­ро­вать ско­рость дви­же­ния зонда, чтобы иметь воз­мож­ность сде­лать еще один фо­то­сни­мок не­бес­но­го тела в дру­гой точке его ор­би­ты.

Рас­смот­рим упро­щен­ную мо­дель воз­ник­шей си­ту­а­ции. Счи­та­ем изу­ча­е­мый объ­ект (не­бес­ное тело) и ис­сле­до­ва­тель­ский зонд ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми, не­бес­ное тело дви­жет­ся по кру­го­вой ор­би­те с цен­тром в точке O и ра­ди­у­сом с по­сто­ян­ной уг­ло­вой ско­ро­стью Про­ек­цию зонда на плос­кость ор­би­ты на­зо­вем под­зон­до­вой точ­кой. Ско­рость дви­же­ния под­зон­до­вой точки по­сто­ян­на и равна а ее тра­ек­то­рию в плос­ко­сти ор­би­ты услов­но счи­та­ем пря­мой, пе­ре­се­ка­ю­щей окруж­ность в точ­ках P и K. Со­глас­но за­ло­жен­ной про­грам­ме, съем­ка не­бес­но­го тела зон­дом осу­ществ­ля­ет­ся в мо­мен­ты их наи­боль­ше­го сбли­же­ния, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют мо­мен­там пе­ре­се­че­ния тра­ек­то­рии под­зон­до­вой точки с ор­би­той тела (точки P и K). Когда не­бес­ное тело (точка T) ока­зы­ва­ет­ся стро­го на пря­мой между точ­кой O и под­зон­до­вой точ­кой (точка Z), за­пус­ка­ет­ся тай­мер (t₀  =  0). В точке Р не­бес­ное тело и под­зон­до­вая точка на­хо­дят­ся в одно и тоже время, и осу­ществ­ля­ет­ся съем­ка, после чего ско­рость зонда ме­ня­ет­ся так, чтобы над точ­кой K вновь ока­зать­ся од­но­вре­мен­но с телом для его по­втор­но­го фо­то­гра­фи­ро­ва­ния. Ско­рость под­зон­до­вой точки на участ­ке PK по­сто­ян­на.

Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние между под­зон­до­вой точ­кой и изу­ча­е­мым телом в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни t₀, а также ско­рость под­зон­до­вой точки V₂ на участ­ке PK, если цен­траль­ный угол POK равен углу PZO и в пол­то­ра раза мень­ше цен­траль­но­го угла POT. В рас­че­тах ис­поль­зуй­те при­бли­жен­ное зна­че­ние числа π  — округ­ли­те его до це­ло­го зна­че­ния.