PDF-версии: 1. Тип 0 № 4675 
?
Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 годКлассификатор: Алгебра. Сравнение чисел
i
Что больше: 1 или 
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
Ответ: сумма дробей больше.
Приведем другое решение.
Заметим, что
Критерии проверки:
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: сумма дробей больше.
4675
сумма дробей больше.
игр, в каждой из которых разыгрывалось 2 или 3 очка. Следовательно, максимальное количество очков, которое суммарно может быть у всех команд это 
Значит, количество вышедших в следующий этап команд n удовлетворяет неравенству 
откуда 
является квадратом натурального числа?
подходит. Пусть 
тогда при 
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
тот есть
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
Решите уравнение 
тогда и только тогда, когда найдётся такое число y, что выполнена система 
откуда или 
или 
Подставим y в первое уравнение системы. В первом случае получим уравнении 
откуда 
или 
Во втором случае получим уравнение 
откуда 
—
при условии 
тогда и только тогда, когда существует некоторое 
такое, что 
Тогда выражение из условия приобретает вид 
тогда 
и 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
и 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
и 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
или 
Из того, что прямая XL параллельна стороне BC, следует, что 
Тогда 
и 
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия: 
значит,
Пересекая все пять полученных условий, получаем ответ.
его знакомых знакома с Васей, а ровно 
— с Тимофеем; Вася заметил, что 
его знакомых знакомы с Петей, а 
— c Тимофеем; наконец, Тимофей заметил, что ровно 
его знакомых знакомы с Петей. А какую часть среди знакомых Тимофея составляют знакомые Васи?
знакомых Пети тогда 
а общих знакомых Пети и Васи — 
знакомых Васи тогда 
а общих знакомых Васи и Тимофея тогда — 
обозначим за α.
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
а потому точка C1 лежит на прямой QC2. Учитывая, что QD — диаметр, получаем, что C1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую QC2. Тогда длина маршрута, идущего по верхнему основанию (см. верхний рис.) из C в D и по боковой поверхности из D в A будет не меньше длины ломаной (см. нижний рис.) C1DA1 и не меньше длины перпендикуляра, опущенного из A1 на прямую QC2.
что больше 
Значит, проекция QA1 на прямую QC2 меньше длины отрезка QC2, что и требовалось. 
Тогда 
